Clase 1

Homomorfismos

En cierto sentido el tema de la teoría de grupos es elaborado a partir de tres conceptos básicos: El homomorfismo, el de subgrupo normal y el de grupo o factor cociente de un grupo por un subgrupo normal, a continuación, se presenta la definición de homomorfismo:

Definición 1: Sean G, G' dos grupos; entonces la aplicación:

φ: G → G' es un homomorfismo si se cumple que:

φ(ab) = φ(a) φ(b), ∀a,beG.

En esta definición, el producto ubicado al lado izquierdo (en φ(ab) ) es el de G, mientras que el producto φ(a) φ(b) es el de G'. Una descripción breve de un homomorfismo es que preserva la operación G. No se requiere que φ sea suprayectivo.

Definición 2: El homomorfismo φ: G → G' se llama monomorfismo si φ es inyectiva. El homomorfismo φ: G → G' se llama epimorfismo si φ es suprayectivo. Si φ: G → G' es un homomorfismo que es epimorfismo y monomorfismo se llama isomorfismo. Un automorfismo de un grupo G entenderemos un isomorfismo de G sobre si mismo.

Definición 3: Sea: φ: G → G' un homomorfismo, la imagen de φ se denota por: 

φ(G) = {φ(a)/aeG}, donde φ(G) ⊑ G'.

Definición 4: Si φ es un homomorfismo de G en G', entonces el kernel o núcleo de φ, K(φ), se define por K(φ) = {aeG/φ(a) = e'}. K(φ) mide la falta de inyectividad en un punto e'.

Definición 5: Sea H un subgrupo de un grupo G y sea aeG. La clase lateral izquierda aH de H es el conjunto {ah/heH}. La clase lateral derecha Ha de H es el conjunto {ha/heH}.

Definición 6: Se dice que un subgrupo N de G es un subgrupo normal de G si a-1Na⊑N para todo aeG.

Definición 7: Si N es un subgrupo normal de un grupo G, el grupo de las clases laterales de N bajo la operación inducida es el grupo de factor de G módulo N y se denota por G/N. Las clases laterales son las clases residuales de G módulo N.

Desde luego, K(φ), para cualquier homomorfismo, es un subgrupo normal de G, en cierto sentido, los conceptos de homomorfismo y subgrupos normales son equivalentes.